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有理数中的数学思想方法
作者:佚名    例题来源:本站原创    点击数:9127    更新时间:2006/10/16           ★★★   【字体:

有理数中的数学思想方法

  有理数是整个代数的基础,有理数的运算是初等数学的基本运算,可以说有理数一章是整个初等数学的奠基石,它所蕴含的丰富内容深刻地反映了中学阶段许多重要基本数学思想方法。同学们在学习有理数时除了数学基础知识和基本技能外,还应重视数学思想方法的认识。这对今后的数学学习有很大的用处。现就有理数内容里的几个数学思想方法分别给予说明。

 一、比较思想方法

  所谓比较就是在思维中确定研究对象的相同点和不同点。同学们要掌握的越来越多的知识,就要善于比较知识之间的联系和区别。比如,有理数乘法和小学学习的乘法有什么联系呢?有理数的乘法包含了小学里学过的乘法,但又有区别,关键是如何处理好负数。我们通常是运算中首先确定计算结果的数值符号,把计算转回到小学的正数运算上,最后得出有理数的计算结果。而小学里做乘法运算只需直接进行计算。这就是新旧知识的比较,在学习中我们要不断搞清新旧知识的联系、区别和解决的办法,好不断地推“陈”出“新”,比较最能帮助我们记忆。

二、逆向思想方法

  有理数内容里有好多知识存在着互逆的关系。因而我们在学习知识的过程中,也应该逐步学会用逆向思维的方法去理解和巩固所学的知识,并能自觉地运用到解答问题后的检查中去,养成良好的自我检查习惯。比如学习加法以后,就要研究加法的逆运算——减法。类似的,除法是乘法的逆运算。学了乘法的分配律 a(b+c)=ab+ac,自然也会想到分配律的逆用,ab+ac=a(b+c)。在学习了有理数的新运算——乘方以后,就会想到乘方是否有逆运算呢?例如2的平方是4,它的逆问题是:“什么数的平方等于4?“答案有两个,+2和-2。经常这样思考问题就有利于逆向思维的能力的提高。

三、化归思想方法

  化归思想是解决数学问题的一种重要思想方法。在有理数运算法则中处处体现了这种化归思想。在有理数的加法基础上,利用相反数概念,化归出减法法则,使加、减法统一起来,得到代数和的概念。同样在有理数乘法的基础上。利用倒数的概念,化归出除法法则,使互逆的两种运算得到统一,运用绝对值概念将有理数运算化归为算术数的运算等。可见,数学中利用化归思想方法,可以另辟蹊径,解决新问题,获得新知识,同学们在有理数一章学习中,注重其化归思想,那么在今后学习中,运用化归思想会更加意识化。

四、数形结合思想方法

  数形结合是数学中最重要的方法之一,人们一般把代数称为数而把几何称为“形”。数与形看上去是两个相互对立的概念,其实它们在一定条件下可以相互转化。数量问题可以转化为图形问题,反过来图形问题也可以转化为数量问题,而数形结合就是实现这种转化的有效途径。例如,有理数加法法则、乘法法则和乘方法则都是结合图形(数轴或实图)归纳总结出来的。

  在学习进行有理数运算时,能借助数轴这个工具,提高数形结合能力,对今后学习是非常重要的。例如,若a0b0,且a+b0(1)试用“ <”号连接, a,-ab,-b(2)用“>”或“<”号填空:

  

型题从定理上进行分析,往往会把思维搞乱,但如果借助数轴从定性上分析,可使问题条理清楚、顺理成章,形象深刻。

  ∵a0b0ab0,∴|a||b|,在数轴上可表示为: 会立即看出(1)b<-a<a<-b,(2)-a<-b,a-b>0,-ab>0, 。此例题使用数性结合思想方法,由数想形、以形助数都能从图形直观地反映出来。另外图示法具有使问题直观的优点,易于理解。注重数形结合思想运用,不仅提高数形转换能力,还可以迁移思维能力。

五、分类思想方法

  分类思想是依据教学对象本质属性的异同将其划分为不同种类的数学思想,它是数学发现的重要手段。例如有理数的概念,课本中这样叙述“整数和分数统称有理数,”这本身就体现了分类思想方法,分类表:

  进而用语言表达分类思想方法的三原则:(1)标准统一;(2)任何两种情况不重复;(3)每一种情况都不能遗漏。还可以得出分类表:

  同样用语言阐明以上分类原则,再综合(I)(II)进一步阐明分类原则,这样同学们对分类的思想就有了一个初步的了解,这对后继内容有很重要的意义。又如用(1)a0b0(2)a0b0(3)a0b0|a||b|(4)a0b0|a||b|四类确定 a+b的符号;用b0b0两类讨论aaba+b的大小;讨论a2a的大小等,都是运用分类思想方法进行研究和解答的。

  由上可知,有理数是初等数学的一个基石,因而在学习上应在运算技能培训的同时,注意所涉及的重要数学思想,使同学们的学习收到较好的效果。

 

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